DATOS GENERALES:
G = 6,67.10-11 unidades S.I.
Masa de la Tierra MT = 5,97.1024 kg
Radio de la Tierra RT = 6370 km
Aceleración de la gravedad en la Tierra gT = 9,8 m.s-2
El astronauta Sadek que con todo su equipo en la Tierra pesa 1330 N, llega al planeta Perseus de 7700 km de radio y observa que su peso allí es de 1990 N.
1. Halla la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta desconocido.
En la Tierra: P = m.g 1330 = m.9,8 de donde m = 135,7 kg
En el planeta Perseus: P = m.g 1990 = 135,7.g de donde g = 14,66 m/s2
2. Halla la masa de ese planeta.
Dado que P = Fg, m.g = G M.m / r2, de donde g = G M/r2 =
6,67.10(-11).5,97.10(24) /(7700.10(3) )2 = 1,3.10(25) kg
3. ¿A qué altura desde la superficie de ese planeta, la gravedad es un tercio del valor en la superficie?
g = 14,66 / 3 = 4,89 m/s2 g = G M /r2 4,89 = 6,67.10(-11).1,3.10(25) / r2, de donde r = 13.329.832 m = 13.330 km
Como esta distancia r es el Radio más la altura sobre la superficie, para saber esta altura debemos restar el radio: h = r – R = 13330 – 7700 = 5630 km
4. Si de repente, debido a una catástrofe planetaria desconocida, Perseus cesa en su movimiento de rotación alrededor de sí mismo ¿Qué le ocurriría al astronauta? Justifícalo adecuadamente según alguna ley de la física.
En el movimiento de rotación alrededor de sí mismo, Perseus lleva una velocidad angular W y por tanto otra velocidad lineal enorme, v. Al cesar repentinamente este movimiento, debido a la ley de la inercia de Newton, el astronauta saldrá despedido en línea recta, con MRU y con la velocidad lineal anterior constante.
El planeta Perseus posee una luna llamada Esquilo situada a 410.000 km de distancia desde la superficie del planeta (hasta el centro de la luna) que emplea 34 días en darle una vuelta completa a Perseus.
5. Halla la frecuencia y el periodo del movimiento de la luna Esquilo alrededor de Perseus.
Periodo T = 34 d = 34.24.60.60 = 2.937.600 s
Frecuencia f = 1/T = 1/2937600 = 3,4.10(-7) s(-1) o Hz
6. Halla la velocidad lineal de la luna Esquilo alrededor de Perseus en km/h.
Velocidad lineal v = 2(pi)r / T = 2(pi)r.f =
2.3,14.(410000+7700).10(3).3,4.10(-7) = 893 m/s = 3215 km/h
7. ¿Qué aceleración centrípeta lleva Esquilo?
ac = v2/r = 893(2) / (410000+7700).10(3) = 1,9.10(-3) m/s2
8. Y ahora una pregunta para imaginar: ¿Pesa la Tierra?
Por supuesto que pesa… pero es necesario decir respecto a quién, respecto a qué sistema de referencia. Por ejemplo, podemos decir que la Tierra pesa respecto al Sol, porque es atraida por él.
1. En una base experimental situada en cierto planeta de Masa = 5,44.1025 kg y Radio de 7100 km, colgamos un objeto de 40 kg de masa del techo de una habitación con ayuda de una cuerda. ¿Cuánto pesa ese objeto?
Primero debemos hallar la «g» del planeta: g= G M/r2 y después aplicar la expresión del peso P = m.g dando el resultado en N
2. ¿A qué altura desde la superficie terrestre una masa de 300 kg pesaría la quinta parte de lo que pesa en la superficie terrestre? Radio de la Tierra RT = 6370 km
No podemos utilizar la masa de la Tierra, sólo el dato de su radio. Podemos expresar la gravedad en la superficie de la Tierra y la gravedad a una cierta altura h, de la siguiente forma:
g(superficie) = G M / R2 g(altura h) = G M / (R+h) 2 y sabemos que
g(altura h) = g(superfice) / 5 , sustituyendo en esta última expresión se eliminan las M de la tierra y la G… por lo tanto podemos sustituir el radio de la Tierra y despejar la altura h
3. ¿A qué altura desde la superficie terrestre habría que situar un satélite de comunicaciones para que emplease 12 horas en dar un giro completo a la Tierra? Radio de la Tierra RT = 6370 km. Masa de la Tierra MT = 5,97.1024 kg. Distancia Tierra-Luna =370.000 km.
En un satélite en órbita se debe cumplir que la Fuerza centrípeta debe estar equilibrada con la Fuerza de atracción gravitatoria. Es decir Fc = Fg, o sea
m.v2 / r = G M m / r2, eliminando la m y una r, nos queda: v2 = G M / r,
v = raíz cuadrada de G M / r y además v = 2(pi)r / T igualando:
raíz cuadrada de GM / r = 2(pi)r / T de donde podemos hallar r
como r = R + h podemos averiguar fácilmente h
4. Un satélite artificial de 490 kg de masa está situado a 520 km de la superficie terrestre. Calcula
- a) el tiempo que emplea en dar un giro completo
- b) ¿Cuánto pesará ese satélite en su órbita?
Radio de la Tierra RT = 6370 km. Distancia Tierra-Luna =370.000 km.
Se hace similar al anterior, pero ahora conocemos r = R + h y buscamos el T
Para la segunda parte debemos hallar primero la gravedad en esa órbita.
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